Question

已知函数f（x）=（x-1）²，数列{a_n}是公差为d的等差数列，{b_n}是公比为q（q∈R，q≠1）的等比数列．若a₁=f（d-1），a₃=f（d+1），b₁=f（q-1），b₃=f（q+1）．
（Ⅰ）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）若{c_n}对n∈N^*，恒有，求c₁+c₃+c₅+…+c_2n-1的值；
（Ⅲ）试比较与的大小．

Answer

（Ⅰ）由a3-a1=2d，可得d=2．所以an=2（n-1）．由，可得q=3．所以bn=3n-1．
（Ⅱ）由题设知c1=a2b1=2．然后结合题高级条件利用错位相减法能够求出c1+c3+c5+…+c2n-1的值．
（Ⅲ）由题设条件知，．所以通过用数学归纳法比较3n+1与2n+2的大小就能得到与的大小．
【解析】
（Ⅰ）∵a3-a1=2d，
∴f（d+1）-f（d-1）=2d．即d2-（d-2）2=2d，解得d=2．
∴a1=f（2-1）=0．
∴an=2（n-1）．
∵，
∴．
∵q≠0，q≠1，
∴q=3．
又b1=f（q-1）=1，∴bn=3n-1．
（Ⅱ）由题设知，∴c1=a2b1=2．
当n≥2时，，，
两式相减，得．
∴cn=2nbn=2n•3n-1（cn=b1a2适合）．
设T=c1+c3+c5+…+c2n-1，
∴T=2+6×32+10×34+…+（4n-2）•32n-2，
32T=2×32+6×34+10×36+…+（4n-6）•32n-2+（4n-2）•32n，
两式相减，得
-8T=2+4×32+4×34+…+4×32n-2-（4n-2）•32n
=2+4×
=
=．
∴．
（Ⅲ），
．
现只须比较3n+1与2n+2的大小．
当n=1时，3n+1=4=2n+2；
当n=2时，3n+1=10＞2n+2=6；
当n=3时，3n+1=28＞2n+2=8；
当n=4时，3n+1=82＞2n+2=10．
猜想n≥2时，3n+1＞2n+2．
用数学归纳法证明
（1）当n=2时，左边=3n+1=10，右边=2n+2=6，3n+1＞2n+2成立．
（2）假设当n=k时，不等式成立，即3k+1＞2k+2．
当n=k+1时，3k+1+1=3×3k+1=3k+1+2×3k＞2k+2+2×3k＞2k+2+2=2（k+1）+2．
即当n=k+1时，不等式也成立．
由（1）（2），可知n＞2时，3n+1＞2n+2都成立．
所以3n+1≥2n+2（当且仅当n=1时，等号成立）
所以．即≥．