Question

AB为抛物线y²=2px（p＞0）的焦点弦，若|AB|=1，则AB中点的横坐标为    ；若AB的倾斜角为α，则|AB|=    ．

Answer

设A（x1，y1），B（x2，y2），当|AB|=1时，根据抛物线性质可知x1++x2+=|AB|求得x1+x2，进而可得AB中点的横坐标；当AB的倾斜角为α，可知直线AB斜率为k=tanα设直线AB是y-0=tanα（x-）与抛物线方程联立消去y求得x1+x2，进而根据抛物线上的点到焦点距离等于到准线距离求得|AB|．
【解析】
抛物线y2=2px，∴焦点为（，0），准线方程为x=-
设A（x1，y1），B（x2，y2）
①根据抛物线性质可知，x1++x2+=|AB|=1
∴x1+x2=1-p
∴AB中点的横坐标=
②k=tanα
所以直线AB是y-0=tanα（x-）
代入抛物线方程得
tan2αx2-tan2αpx+tan2α=2px
tan2αx2-（tan2αp+2p）x+tan2α=0
所以x1+x2=
抛物线上的点到焦点距离等于到准线距离
所以A横坐标是x1，所以A到准线距离=x1+
B到准线距离=x2+
所以AB=AF+BF=