Question

在抛物线y²=4x上恒有两点关于直线y=kx+3对称，求k的取值范围．

Answer

设出B、C两点坐标，得到直线BC方程x=-ky+m，，把直线BC方程与抛物线方程联立，化为一元二次方程，由韦达定理求出BC中点，应用中点在对称轴上，且判别式大于0，可求出k的取值范围．
【解析】
设B、C关于直线y=kx+3对称，故可设直线BC方程为x=-ky+m，代入y2=4x，得 y2+4ky-4m=0．
设B（x1，y1）、C（x2，y2），则 BC中点M（x，y），则y==-2k，x=2k2+m．
∵点M（x，y）在直线l上，∴-2k=k（2k2+m）+3，∴m=-．
又∵BC与抛物线交于不同两点，∴△=16k2+16m＞0．
把m代入化简得＜0，即＜0，解得-1＜k＜0．