Question

椭圆焦点在x轴，离心率为，直线y=1-x与椭圆交于M，N两点，满足OM⊥ON，求椭圆方程．

Answer

设出椭圆的方程，然后根据题意将已知代入方程，并运用设而不求韦达定理求出参数a，b．最后写出椭圆方程．
【解析】
设椭圆方程+=1（a＞b＞0），
∵e=，∴a2=4b2，即a=2b．
∴椭圆方程为+=1．
把直线方程代入化简得5x2-8x+4-4b2=0．
设M（x1，y1）、N（x2，y2），则
x1+x2=，x1x2=（4-4b2）．
∴y1y2=（1-x1）（1-x2）=1-（x1+x2）+x1x2=（1-4b2）．
由于OM⊥ON，∴x1x2+y1y2=0．
解得b2=，a2=．
∴椭圆方程为x2+y2=1．