Question

如图，椭圆的长轴A₁A₂与x轴平行，短轴B₁B₂在y轴上，中心为M（0，r）（b＞r＞0）．
（1）写出椭圆的方程，求椭圆的焦点坐标及离心率．
（2）直线y=k₁x交椭圆于两点C（x₁，y₁），D（x₂，y₂）（y₂＞0）；直线y=k₂x交椭圆于两点G（x₃，y₃），H（x₄，y₄）（y₄＞0）．
求证：=．
（3）对于（2）中的C、D、G、H，设CH交x轴于点P，GD交x轴于点Q．
求证：|OP|=|OQ|．
（证明过程不考虑CH或GD垂直于x轴的情形）

Answer

（1）如图可知椭圆的顶点坐标，根据椭圆的性质可分别得出椭圆的长半轴和短半轴，进而得到椭圆的方程．再根据椭圆中a，b，c的关系求得c，进而可得椭圆的焦点和离心率．
（2）将直线CD的方程y=k1x代入椭圆方程，整理后根据韦达定理求得x1+x2和x1x2的值，两式相除可得=，同理可得=，整理后进而可得=．
（3）设点P（p，0），点Q（q，0），根据C，P，H共线，得=，求得p；同样的方法求得q，由=变形后即可证明所以|p|=|q|，原式得证．
【解析】
（1）如图可知椭圆的方程为
焦点坐标为F1（，r），F2（，r）
离心率e=
（2）将直线CD的方程y=k1x代入椭圆方程，
得b2x2+a2（k1x-r）2=a2b2，
整理得（b2+a2k12）x2-2k1a2rx+（a2r2-a2b2）=0．
根据韦达定理，得 x1+x2=
x1x2=
所以=①
将直线GH的方程y=k2x代入椭圆方程，同理可得
=②
由①，②得==所以结论成立．

（3）设点P（p，0），点Q（q，0）．
由C，P，H共线，得=
解得p=
由D，Q，G共线，同理可得q=
由=变形得
-=
即-=
所以|p|=|q|，
即|OP|=|OQ|．