Question

已知椭圆C：+=1（a＞b＞0），两个焦点分别为F₁和F₂，斜率为k的直线l过右焦点F₂且与椭圆交于A、B两点，设l与y轴交点为P，线段PF₂的中点恰为B．若|k|≤，求椭圆C的离心率的取值范围．

Answer

设椭圆离心率为e，设F2的坐标为（c，0），设l的方程为y=kx+m，则可求得l与y轴的交点，进而求得B点坐标，带椭圆方程求得e和k的关系式，进而根据k的范围得出关于e的不等式，求得e的范围．
【解析】
设椭圆离心率为e，设F2的坐标为（c，0），其中c2=a2-b2，
设l的方程为y=kx+m，则l与y轴的交点为（0，m），m=-kc，
所以B点的坐标为（，-），将B点坐标代入椭圆方程得+•k2=4，即e2+=4，
所以k2=（4-e2）•（-1）≤，即5e4-29e2+20≤0，解之可得，≤e2≤5，
又有椭圆的性质，所以≤e＜1，
因此椭圆C的离心率取值范围为[，1）．