Question

已知a，b为常数，且a≠0，函数f（x）=-ax+b+axlnx，f（e）=2（e=2.71828…是自然对数的底数）．
（I）求实数b的值；
（II）求函数f（x）的单调区间；
（III）当a=1时，是否同时存在实数m和M（m＜M），使得对每一个t∈[m，M]，直线y=t与曲线y=f（x）（x∈[，e]）都有公共点？若存在，求出最小的实数m和最大的实数M；若不存在，说明理由．

Answer

（I）把x=e代入函数f（x）=-ax+b+axlnx，，解方程即可求得实数b的值；
（II）求导，并判断导数的符号，确定函数的单调区间；
（III）假设存在实数m和M（m＜M），使得对每一个t∈[m，M]，直线y=t与曲线y=f（x）（x∈[，e]）都有公共点，转化为利用导数求函数y=f（x）在区间[，e]上的值域．
【解析】
（I）由f（e）=2，代入f（x）=-ax+b+axlnx，
得b=2；
（II）由（I）可得f（x）=-ax+2+axlnx，函数f（x）的定义域为（0，+∞），
从而f′（x）=alnx，
∵a≠0，故
①当a＞0时，由f′（x）＞0得x＞1，由f′（x）＜0得0＜x＜1；
②当a＜0时，由f′（x）＞0得0＜x＜1，由f′（x）＜0得x＞1；
综上，当a＞0时，函数f（x）的单调递增区间为（1，+∞），单调递减区间为（0，1）；
当a＜0时，函数f（x）的单调递增区间为（0，1），单调递减区间为（1，+∞）；
（III）当a=1时，f（x）=-x+2+xlnx，f′（x）=lnx，
由（II）可得，当x∈（，e），f（x），f′（x）变化情况如下表：

又f（）=2-＜2，
所以y=f（x）在[，e]上的值域为[1，2]，
据此可得，若，则对每一个t∈[m，M]，直线y=t与曲线y=f（x）（x∈[，e]）都有公共点；
并且对每一个t∈（-∞，m）∪（M，+∞），直线y=t与曲线y=f（x）（x∈[，e]）都没有公共点；
综上当a=1时，存在最小实数m=1和最大的实数=2M（m＜M），使得对每一个t∈[m，M]，直线y=t与曲线y=f（x）（x∈[，e]）都有公共点．