Question

如图，已知正三棱柱ABC=A₁B₁C₁的各棱长都是4，E是BC的中点，动点F在侧棱CC₁上，且不与点C重合．
（Ⅰ）当CF=1时，求证：EF⊥A₁C；
（Ⅱ）设二面角C-AF-E的大小为θ，求tanθ的最小值．

Answer

（I）过E作EN⊥AC于N，连接EF，NF，AC1，根据面面垂直的性质可知NF为EF在侧面A1C内的射影，根据，得NF∥AC，又AC1⊥A1C，故NF⊥A1C，由三垂线定理可得结论；
（II）连接AF，过N作NM⊥AF与M，连接ME根据三垂线定理得EM⊥AF，则∠EMN是二面角C-AF-E的平面角即∠EMN=θ，在直角三角形CNE中，求出NE，在直角三角形AMN中，求出MN，故tanθ=，根据α的范围可求出最小值．
【解析】
（I）过E作EN⊥AC于N，连接EF，NF，AC1，由直棱柱的性质可知，底面ABC⊥侧面A1C
∴EN⊥侧面A1C
NF为EF在侧面A1C内的射影
在直角三角形CNF中，CN=1
则由，得NF∥AC1，又AC1⊥A1C，故NF⊥A1C
由三垂线定理可知EF⊥A1C
（II）连接AF，过N作NM⊥AF与M，连接ME
由（I）可知EN⊥侧面A1C，根据三垂线定理得EM⊥AF
∴∠EMN是二面角C-AF-E的平面角即∠EMN=θ
设∠FAC=α则0°＜α≤45°，
在直角三角形CNE中，NE=，在直角三角形AMN中，MN=3sinα
故tanθ=，又0°＜α≤45°∴0＜sinα≤
故当α=45°时，tanθ达到最小值，
tanθ=，此时F与C1重合