Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足：a₁=a（a≠0），a_n+1=rS_n （n∈N^*，r∈R，r≠-1）．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若存在k∈N^*，使得S_k+1，S_k，S_k+2成等差数列，试判断：对于任意的m∈N^*，且m≥2，a_m+1，a_m，a_m+2是否成等差数列，并证明你的结论．

Answer

（I）由已知中an+1=rSn，我们可以得到以an+2=rSn+1，两式相减后结合数列前n项和定义，我们可以判断出数列{an}中从第二项开始，后一项与前一项之间的关系，因为式子中含有参数r，故我们可以对r进行分类讨论，即可得到答案．
（II）根据（I）的结论，我们同样要对r进行分类讨论，结合等差数列的判定方法，即要判断am+1，am，am+2是否成等差数列，即判断am+1+am+2=2am是否成立，论证后即可得到答案．
【解析】
（I）由已知an+1=rSn，则an+2=rSn+1，两式相减得
an+2-an+1=r（Sn+1-Sn）=ran+1
即an+2=（r+1）an+1
又 a2=ra1=ra
∴当r=0时，数列{an}为：a，0，0，…；
当r≠0时，由r≠-1，a≠0，∴an≠0
由an+2=（r+1）an+1得数列{an}从第二项开始为等比数列
∴当n≥2时，an=r（r+1）n-2a
综上数列{an}的通项公式为
（II） 对于任意的m∈N*，且m≥2，am+1，am，am+2成等差数列，理由如下：
当r=0时，由（I）知，
∴对于任意的m∈N*，且m≥2，am+1，am，am+2成等差数列；
当r≠0，r≠-1时
∵Sk+2=Sk+ak+1+ak+2，Sk+1=Sk+ak+1
若存在k∈N*，使得Sk+1，Sk，Sk+2成等差数列，则2Sk=Sk+1+Sk+2
∴2Sk=2Sk+ak+2+2ak+1，即ak+2=-2ak+1
由（I）知，a2，a3，…，an，…的公比r+1=-2，于是
对于任意的m∈N*，且m≥2，am+1=-2am，从而am+2=4am，
∴am+1+am+2=2am，即am+1，am，am+2成等差数列
综上，对于任意的m∈N*，且m≥2，am+1，am，am+2成等差数列．