Question

设f（x）=x³+ax²+bx+1的导数f'（x）满足f'（1）=2a，f'（2）=-b，其中常数a，b∈R．
（I）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程．
（II）设g（x）=f′（x）e^-x．求函数g（x）的极值．

Answer

（I）根据已知中f（x）=x3+ax2+bx+1，我们根据求函数导函数的公式，易求出导数f'（x），结合f'（1）=2a，f'（2）=-b，计算出参数a，b的值，然后求出f（1）及f'（1）的值，然后代入点斜式方程，即可得到曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程．
（II）根据g（x）=f′（x）e-1求出函数g（x）的解析式，然后求出g（x）的导数g'（x）的解析式，求出导函数零点后，利用零点分段法，分类讨论后，即可得到函数g（x）的极值．
【解析】
（I）∵f（x）=x3+ax2+bx+1∴f'（x）=3x2+2ax+b．令x=1，得f'（1）=3+2a+b=2a，解得b=-3
令x=2，得f'（2）=12+4a+b=-b，因此12+4a+b=-b，解得a=-，因此f（x）=x3-x2-3x+1
∴f（1）=-，
又∵f'（1）=2×（-）=-3，
故曲线在点（1，f（1））处的切线方程为y-（-）=-3（x-1），即6x+2y-1=0．

（II）由（I）知g（x）=（3x2-3x-3）e-x
从而有g'（x）=（-3x2+9x）e-x
令g'（x）=0，则x=0或x=3
∵当x∈（-∞，0）时，g'（x）＜0，
当x∈（0，3）时，g'（x）＞0，
当x∈（3，+∞）时，g'（x）＜0，
∴g（x）=（3x2-3x-3）e-x在x=0时取极小值g（0）=-3，在x=3时取极大值g（3）=15e-3