Question

设实数数列{a_n}的前n项和S_n满足S_n+1=a_n+1S_n（n∈N^*）．
（Ⅰ）若a₁，S₂，-2a₂成等比数列，求S₂和a₃．
（Ⅱ）求证：对k≥3有0≤a_k≤．

Answer

（Ⅰ）由题意，得S22=-2S2，由S2是等比中项知S2=-2，由此能求出S2和a3．
（Ⅱ）由题设条件知Sn+an+1=an+1Sn，Sn≠1，an+1≠1，且，，由此能够证明对k≥3有0≤an-1≤．
【解析】
（Ⅰ）由题意，
得S22=-2S2，
由S2是等比中项知S2≠0，
∴S2=-2．
由S2+a3=a3S2，解得．
（Ⅱ）证明：因为Sn+1=a1+a2+a3+…+an+an+1=an+1+Sn，
由题设条件知Sn+an+1=an+1Sn，
∴Sn≠1，an+1≠1，且，
从而对k≥3 有 ①
因，且，
要证，由①，只要证
即证，即，
此式明显成立，因此．