Question

对于n∈N⁺，将n 表示n=a×2^k+a₁×2^k-1+a₂×2^k-2+…+a_k-1×2¹+a_k×2，当i=0时，a_i=1，当1≤i≤k时，a₁为0或1．记I（n）为上述表示中a_i为0的个数（例如：1=1×2，4=1×2²+0×2¹+0×2，故I（1）=0，I（4）=2），则
（1）I（12）=    ；（2）=    ．

Answer

（1）根据题意，分析可得，将n 表示n=a×2k+a1×2k-1+a2×2k-2+…+ak-1×21+ak×2，实际是将十进制的数转化为二进制的数，易得12=1×23+1×22+0×21+0×2，由I（n）的意义，可得答案；
（2）将n分为n=127，64≤n≤126，32≤n≤63，…n=1等7种情况，有组合数的性质，分析其中I（n）的取值情况，与二项式定理结合，可转化为等比数列的前7项和，计算可得答案．
【解析】
（1）根据题意，12=1×23+1×22+0×21+0×2，则I（12）=2；
（2）127=1×26+1×25+1×24+1×23+1×22+1×21+1×2，
设64≤n≤126，且n为整数；
则n=1×26+a1×25+a2×24+a3×23+a4×22+a5×21+a6×2，
a1，a2，a3，a4，a5，a6中6个数都为0或1，
其中没有一个为1时，有C6种情况，即有C6个I（n）=6；
其中有一个为1时，有C61种情况，即有C61个I（n）=5；
其中有2个为1时，有C62种情况，即有C62个I（n）=4；
…
 2I（n）=C626+C61×25+C62×24+C63×23+C64×22+C65×2+1=（2+1）n=36，
同理可得：=35，
…
=31，
2I（1）=1；
则 =1+3+32+…+36==1093；
故答案为：（1）2；（2）1093．