Question

如图，在圆锥PO中，已知PO=，⊙O的直径AB=2，C是的中点，D为AC的中点．
（Ⅰ）证明：平面POD⊥平面PAC；
（Ⅱ）求二面角B-PA-C的余弦值．

Answer

（Ⅰ）连接OC，先根据△AOC是等腰直角三角形证出中线OD⊥AC，再结合PO⊥AC证出AC⊥POD，利用平面与平面垂直的判定定理，可证出平面POD⊥平面PAC；
（Ⅱ）过O分别作OH⊥PD于H，OG⊥PA于G，再连接GH，根据三垂线定理证明∠OGH为二面角B-PA-C的平面角，最后分别在Rt△ODA、Rt△ODP、Rt△OGH中计算出OH、OG和sin∠OGH，最后求出所求二面角的余弦值．
【解析】
（Ⅰ）连接OC，
∵OA=OC，D是AC的中点
∴AC⊥OD
又∵PO⊥底面⊙O，AC⊂底面⊙O
∴AC⊥PO
∵OD、PO是平面POD内的两条相交直线
∴AC⊥平面POD，
而AC⊂平面PAC
∴平面POD⊥平面PAC
（Ⅱ）在平面POD中，过O作OH⊥PD于H，由（Ⅰ）知，平面POD⊥平面PAC
所以OH⊥平面PAC，
又∵PA⊂平面PAC
∴PA⊥HO
在平面PAO中，过O作OG⊥PA于G，连接GH，则有PA⊥平面OGH，从而PA⊥HG．故∠OGH为二面角B-PA-C的平面角
在Rt△ODA中，OD=OA•sin45°=
在Rt△ODP中，OH=
在Rt△OPA中，OG=
在Rt△OGH中，sin∠OGH=
所以cos∠OGH=
故二面角B-PA-C的余弦值为