Question

如图，椭圆C₁：=1（a＞b＞0）的离心率为，x轴被曲线C₂：y=x²-b截得的线段长等于C₁的长半轴长．
（Ⅰ）求C₁，C₂的方程；
（Ⅱ）设C₂与y轴的交点为M，过坐标原点O的直线l与C₂相交于点A、B，直线MA，MB分别与C₁相交与D，E．
（i）证明：MD⊥ME；
（ii）记△MAB，△MDE的面积分别是S₁，S₂．问：是否存在直线l，使得=？请说明理由．

Answer

（Ⅰ）先利用离心率得到一个关于参数的方程，再利用x轴被曲线C2：y=x2-b截得的线段长等于C1的长半轴长得另一个方程，两个方程联立即可求出参数进而求出C1，C2的方程；
（Ⅱ）（i）把直线l的方程与抛物线方程联立可得关于点A、B坐标的等量关系，再代入求出kMA•kMB=-1，即可证明：MD⊥ME；
（ii）先把直线MA的方程与抛物线方程联立可得点A的坐标，再利用弦长公式求出|MA|，同样的方法求出|MB|进而求出S1，同理可求S2．再代入已知就可知道是否存在直线l满足题中条件了．
【解析】
（Ⅰ）由题得e=，从而a=2b，又2=a，解得a=2，b=1，
故C1，C2的方程分别为，y=x2-1．
（Ⅱ）（i）由题得，直线l的斜率存在，设为k，则直线l的方程为y=kx，
由得x2-kx-1=0．
设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1，x2是上述方程的两个实根，
于是x1+x2=k，x1x2=-1，又点M的坐标为（0，-1），
所以kMA•kMB=====-1．
故MA⊥MB，即MD⊥ME．
（ii）设直线MA的斜率为k1，则直线MA的方程为y=k1x-1．
由，解得或．
则点A的坐标为（k1，k12-1）．
又直线MB的斜率为-，同理可得点B的坐标为（-，-1）．
于是s1=|MA|•|MB|=•|k1|••|-|=．
由得（1+4k12）x2-8k1x=0．
解得或，，则点D的坐标为（，）．
又直线ME的斜率为-．同理可得点E的坐标为（，）．
于是s2=|MD|•|ME|=．
故=，解得k12=4或k12=．
又由点A，B的坐标得，k==k1-．所以k=±．
故满足条件的直线存在，且有两条，其方程为y=x和y=-x．