Question

已知函数f（x）=x³，g （x）=x+．
（Ⅰ）求函数h （x）=f（x）-g （x）的零点个数．并说明理由；
（Ⅱ）设数列{ a_n}（n∈N^*）满足a₁=a（a＞0），f（a_n+1）=g（a_n），证明：存在常数M，使得对于任意的n∈N^*，都有a_n≤M．

Answer

（Ⅰ）由h（x）=知，x∈[0，+∞），而h（0）=0，且h（1）=-1＜0，h（2）=6-，再研究函数在（0，+∞）上的单调性，以确定零点个数即可
（Ⅱ）记h（x）的正零点为x，即，当a＜x时，由a1=a，即a1＜x，而，a2＜x．由此猜测an＜x．当a≥x时，由（Ⅰ）知，当x∈（x1，+∞）时，h（x）单调递增，h（a）＞h（x）=0，从而a2＜a，由此猜测an＜a．然后用数学归纳法证明．
【解析】
（Ⅰ）由h（x）=知，x∈[0，+∞），而h（0）=0，且h（1）=-1＜0，h（2）=6-，则x=0为h（x）的一个零点，且h（x）在（1，2）内有零点，
∴h（x）至少有两个零点．
由h（x）=，记，则，
当x∈（0，+∞）时，g（x）单调递增，故可判断出h（x）在（0，+∞）仅有一个零点，
综上所述，h（x）有且只有两个零点．
（Ⅱ）记h（x）的正零点为x，即，
（1）当a＜x时，由a1=a，即a1＜x，而，∴a2＜x．
由此猜测an＜x．下面用数学归纳法证明：
①当n=1时，a1＜x，成立．
②假设当n=k时ak＜x成立，则当n=k+1时，由，知ak+1＜x．
因此当n=k+1时，ak+1＜x成立．
故对任意的n∈N*，an≤x成立．
（2）当a≥x时，由（Ⅰ）知，当x∈（x，+∞）时，h（x）单调递增，∴h（a）h（x）=0，从而a2≤a，由此猜测an≤a．下面用数学归纳法证明：
①当n=1时，a1≤a，成立．
②假设当n=k时ak＜a成立，则当n=k+1时，由，知ak+1＜a．
因此当n=k+1时，ak+1＜a成立．故对任意的n∈N*，an≤a成立．
综上所述，存在常数M，使得对于任意的n∈N*，都有an≤M．