Question

如图，已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面边长为2，侧棱长为3，点E在侧棱AA₁上，点F在侧棱BB₁上，且AE=2，BF=．
（I） 求证：CF⊥C₁E；
（II） 求二面角E-CF-C₁的大小．

Answer

（I）欲证C1E⊥平面CEF，根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证C1E与平面CEF内两相交直线垂直，根据勾股定理可知EF⊥C1E，C1E⊥CE，又EF∩CE=E，满足线面垂直的判定定理，最后根据线面垂直的性质可知CF⊥C1E；
（II）根据勾股定理可知CF⊥EF，根据线面垂直的判定定理可知CF⊥平面C1EF，而C1F⊂平面C1EF，则CF⊥C1F，从而∠EFC1即为二面角E-CF-C1的平面角，在△C1EF是等腰直角三角形，求出此角即可．
【解析】
（I）由已知可得CC1=，CE=C1F=，
EF2=AB2+（AE-BF）2，EF=C1E=，
于是有EF2+C1E2=C1F2，CE2+C1E2=C1C2，
所以EF⊥C1E，C1E⊥CE．又EF∩CE=E，
所以C1E⊥平面CEF
由CF⊂平面CEF，故CF⊥C1E；
（II）在△CEF中，由（I）可得EF=CF=，CE=，
于是有EF2+CF2=CE2，所以CF⊥EF，
又由（I）知CF⊥C1E，且EF∩C1E=E，所以CF⊥平面C1EF
又C1F⊂平面C1EF，故CF⊥C1F
于是∠EFC1即为二面角E-CF-C1的平面角
由（I）知△C1EF是等腰直角三角形，所以∠EFC1=45°，即所求二面角E-CF-C1的大小为45°