Question

如图所示的几何体是将高为2，底面半径为1的直圆柱沿过轴的平面切开后，将其中一半沿切面向右水平平移后得到的，A，A′，B，B′分别为的中点，O₁，O₁′，O₂，O₂′分别为CD，C′D′，DE，D′E′的中点．
（1）证明：O₁′，A′，O₂，B四点共面；
（2）设G为A A′中点，延长A′O₁′到H′，使得O₁′H′=A′O₁′．证明：BO₂′⊥平面H′B′G

Answer

（1）要证O1′，A′，O2，B四点共面，即可证四边形BO2A′O1′为平面图形，根据A′O1′与B′O2′在未平移时属于同一条直径
知道A′O1′∥B′O2′即BO2∥A′O1′再根据BO2=A′O1′=1即可得到四边形BO2A′O1′是平行四边形，则证．
（2）建立空间直角坐标系，要证BO2′⊥平面H′B′G只需证，，根据坐标运算算出•，的值均为0即可
证明：（1）∵B′，B分别是中点
∴BO2∥B′O2′
∵A′O1′与B′O2′在未平移时属于同一条直径
∴A′O1′∥B′O2′
∴BO2∥A′O1′
∵BO2=A′O1′=1
∴四边形BO2A′O1′是平行四边形
即O1′，A′，O2，B四点共面

（2）以D为原点，以向量DE所在的直线为X轴，以向量DD′所在的直线为Z轴，建立如图空间直角坐标系，
则B（1，1，0），O2′（0，1，2），H′（1，-1，2），A（-1，-1，0），G（-1，-1，1），B′（1，1，2）
则=（-1，0，2），=（-2，-2，-1），=（0，-2，0）
∵•=0，=0
∴BO2′⊥B′G，BO2′⊥B′H′
即，
∵B′H′∩B′G=B′，B′H′、B′G⊂面H′GB′
∴BO2′⊥平面H′B′G