Question

已知椭圆C₁的方程为+y²=1，双曲线C₂的左、右焦点分别是C₁的左、右顶点，而C₂的左、右顶点分别是C₁的左、右焦点．
（1）求双曲线C₂的方程；
（2）若直线l：y=kx+与双曲线C₂恒有两个不同的交点A和B，且•＞2（其中O为原点），求k的取值范围．

Answer

（1）设出双曲线的标准方程，根据根据椭圆方程求得双曲线的左右顶点和焦点，进而求得双曲线方程中的a和b，则双曲线方程可得．
（2）将直线代入双曲线方程消去y，进而根据判别式求得k的范围，设出A，B的坐标，根据韦达定理求得x1+x2和x1x2的表达式，进而根据•＞2求得关于k的不等式，求得k的范围，最后综合求得答案．
【解析】
（1）设双曲线C2的方程为-=1，
则a2=4-1=3，c2=4，
由a2+b2=c2，得b2=1，
故C2的方程为-y2=1．
（2）将y=kx+代入-y2=1，得
（1-3k2）x2-6kx-9=0．
由直线l与双曲线C2交于不同的两点，得

∴k2≠且k2＜1．①
设A（x1，y1），B（x2，y2），则
x1+x2=，x1x2=．
∴x1x2+y1y2=x1x2+（kx1+）（kx2+）
=（k2+1）x1x2+k（x1+x2）+2=．
又∵•＞2，得x1x2+y1y2＞2，
∴＞2，
即＞0，解得＜k2＜3，②
由①②得＜k2＜1，
故k的取值范围为（-1，-）∪（，1）．