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如图,在四棱锥P-ABCD中,底面为直角梯形,AD∥BC,∠BAD=90°,PA...

manfen5.com 满分网如图,在四棱锥P-ABCD中,底面为直角梯形,AD∥BC,∠BAD=90°,PA⊥底面ABCD,且PA=AD=AB=2BC,M、N分别为PC、PB的中点.
(Ⅰ)求证:PB⊥DM;
(Ⅱ)求CD与平面ADMN所成的角.
(I)欲证PB⊥DM,可先证PB⊥平面ADMN,根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证PB与平面ADMN内两相交直线垂直,而AN⊥PB,AD⊥PB,满足定理条件; (II)取AD的中点G,连接BG、NG,得到 BG∥CD,从而BG与平面ADMN所成的角和CD与平面ADMN所成的角相等,根据线面所成角的定义可知∠BGN是BG与平面ADMN所成的角,在Rt△BGN中求出此角的正弦值即可. 【解析】 (I)因为N是PB的中点,PA=AB, 所以AN⊥PB. 因为AD⊥平面PAB,所以AD⊥PB, 从而PB⊥平面ADMN. 因为DM⊂平面ADMN, 所以PB⊥DM. (II)取AD的中点G,连接BG、NG, 则BG∥CD, 所以BG与平面ADMN所成的角和CD与平面ADMN所成的角相等. 因为PB⊥平面ADMN, 所以∠BGN是BG与平面ADMN所成的角. 在Rt△BGN中,. 故CD与平面ADMN所成的角是.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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