Question

在棱长为4的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，O是正方形A₁B₁C₁D₁的中心，点P在棱CC₁上，且CC₁=4CP．求点P到平面ABD₁的距离；

Answer

方法一：如果直接研究三棱锥P-ABD1的体积，无论怎样“转换”都不易求可利用等体积法进行求解，在DD1上取一点Q，使DD1=4DQ，根据VP-ABD1=VQ-ABD1建立等式关系，求出所求即可；
方法二：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，求出面ABD1的法向量，然后求出在面ABD1的法向量上的射影即可；
方法三：“补齐”截面ABD1即正方体的对角面ABC1D1，过P作PE⊥BC1于E，根据线面垂直的性质可知PE的长度即为点P到平面ABD1的距离，最后求出PE的长即可．
【解析】
方法一：“等积转换”．
如果直接研究三棱锥P-ABD1的体积，无论怎样“转换”都不易求；
在DD1上取一点Q，使DD1=4DQ，则PQ∥面ABD1，如图1；故VP-ABD1=VQ-ABD1，
记P到面ABD1的距离为h，则Q到面ABD1的距离为h，由VQ-ABD1=VB-QAD1得：h=；
方法二：以D为原点建系，如图2，A（4，0，0），B（4，4，0），D1（0，0，4），
P（0，4，1），不难求出面ABD1的法向量=（1，0，1），=（4，0，-1），h==；
方法三：“补齐”截面ABD1即正方体的对角面ABC1D1，过P作PE⊥BC1于E，如图3，
∵PE⊥AB，∴PE⊥面ABD1，∴PE的长度即为点P到平面ABD1的距离，易求PE=．