Question

已知函数f（x）=a•b^x的图象过点A（4、）和B（5，1）．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）记a_n=log₂f（n）、n是正整数，S_n是数列{a_n}的前n项和，解关于n的不等式a_nS_n≤0；
（3）对于（2）中的a_n与S_n，整数10⁴是否为数列{a_nS_n}中的项？若是，则求出相应的项数；若不是，则说明理由．

Answer

（1）由点A（4、）和B（5，1）在图象上，则有，1=a•b5，从而求得a，b．得到函数解析式．
（2）由题意．再由前n项和公式求得，从而由anSn≤0，建立关于n的不等式（n-5）（n-9）≤0可得结果．
（3）结合（2）来论证104最近的项，能不能找到相应的n和它对它即可．
【解析】
（1）由，1=a•b5，得b=4，．
故．
（2）由题意．
，
anSn=2n（n-5）（n-9）．
由anSn≤0，得（n-5）（n-9）≤0，即 5≤n≤9．
故 n=5，6，7，8，9．
（3）a1S1=64，a2S2=84，a3S3=72，a4S4=40．
当5≤n≤9时，anSn≤0．
当10≤n≤22时，anSn≤a22S22=9724＜104．
当n≥23时，anSn≥a23S23=11592＞104．
因此，104不是数列{anSn}中的项．