Question

某企业在第1年初购买一台价值为120万元的设备M，M的价值在使用过程中逐年减少．从第2年到第6年，每年初M的价值比上年初减少10万元；从第7年开始，每年初M的价值为上年初的75%．
（Ⅰ）求第n年初M的价值a_n的表达式；
（Ⅱ）设，若An大于80万元，则M继续使用，否则须在第n年初对M更新．证明：须在第9年初对M更新．

Answer

（I）通过对n的分段讨论，得到一个等差数列和一个等比数列，利用等差数列的通项公式及等比数列的通项公式求出第n年初M的价值an的表达式；
（II）利用等差数列、等比数列的前n项和公式求出An，判断出其两段的单调性，求出两段的最小值，与80比较，判断出须在第9年初对M更新．
【解析】
（I）当n＜6时，数列{an}是首项为120，公差为-10的等差数列
an=120-10（n-1）=130-10n
当n≥6时，数列{an}是以a6为首项，公比为的等比数列，又a6=70
所以
因此，第n年初，M的价值an的表达式为
（II）设Sn表示数列{an}的前n项和，由等差、等比数列的求和公式得
当1≤n≤6时，Sn=120n-5n（n-1），An=120-5（n-1）=125-5n
当n≥7时，由于S6=570故
Sn=S6+（a7+a8+…+an）==
因为{an}是递减数列，
所以{An}是递减数列，
又

所以须在第9年初对M更新．