Question

已知O为坐标原点，F为椭圆C：在y轴正半轴上的焦点，过F且斜率为-的直线l与C交于A、B两点，点P满足．
（Ⅰ）证明：点P在C上；
（Ⅱ）设点P关于点O的对称点为Q，证明：A、P、B、Q四点在同一圆上．

Answer

（1）要证明点P在C上，即证明P点的坐标满足椭圆C的方程，根据已知中过F且斜率为-的直线l与C交于A、B两点，点P满足，我们求出点P的坐标，代入验证即可．
（2）若A、P、B、Q四点在同一圆上，则我们可以先求出任意三点确定的圆的方程，然后将第四点坐标代入验证即可．
证明：（Ⅰ）设A（x1，y1），B（x2，y2）
椭圆C：  ①，则直线AB的方程为：y=-x+1  ②
联立方程可得4x2-2x-1=0，
则x1+x2=，x1×x2=-
则y1+y2=-（x1+x2）+2=1
设P（p1，p2），
则有：=（x1，y1），=（x2，y2），=（p1，p2）；
∴+=（x1+x2，y1+y2）=（，1）；=（p1，p2）=-（+）=（-，-1）
∴p的坐标为（-，-1）代入①方程成立，所以点P在C上．

（Ⅱ）设点P关于点O的对称点为Q，证明：A、P、B、Q四点在同一圆上．
设线段AB的中点坐标为（，），即（，），
则过线段AB的中点且垂直于AB的直线方程为：y-=（x-），即y=x+；③
∵P关于点O的对称点为Q，故0（0.0）为线段PQ的中点，
则过线段PQ的中点且垂直于PQ的直线方程为：y=-x④；
③④联立方程组，解之得：x=-，y=
③④的交点就是圆心O1（-，），
r2=|O1P|2=（--（-））2+（-1-）2=
故过平P Q两点圆的方程为：（x+）2+（y-）2=…⑤，
把y=-x+1 …②代入⑤，
有x1+x2=，y1+y2=1
∴A，B也是在圆⑤上的．
∴A、P、B、Q四点在同一圆上．