Question

（1）如图，对于任一给定的四面体A₁A₂A₃A₄，找出依次排列的四个相互平行的α₁，α₂，α₃，α₄，使得A_i∈α_i（i=1，2，3，4），且其中每相邻两个平面间的距离都相等；
（2）给定依次排列的四个相互平行的平面α₁，α₂，α₃，α₄，其中每相邻两个平面间的距离都为1，若一个正四面体A₁A₂A₃A₄ 的四个顶点满足：A_i∈α_i（i=1，2，3，4），求该正四面体A₁A₂A₃A₄的体积．

Answer

（1）先取A2A4的三等分点p2，p3，A1A3的中点M，A2A4，的中点N，过三点A2，P2，M，作平面α2，过三点p3，A3，N作平面α3，先得到两个平行平面，再过点A1，A4，分别作平面α1，α4，与平面α3平行即可．
（2）直接利用（1）中的四个平面以及四面体，建立出以△A2A3A4的中心O为坐标原点，以直线A4O为y轴，直线OA1为Z轴的直角坐标系，求出各点对应坐标，求出平面A3P3N的法向量，利用α1，α2，α3，α4相邻平面之间的距离为1求出正四面体的棱长，进而代入体积公式求出体积即可．
【解析】
（1）如图所示，取A1A4的三等分点p2，p3，A1A3的中点M，A2A4，的中点N，
过三点A2，P2，M，作平面α2，过三点A3，P3，N作平面α3，
因为A2P2∥NP3，A3P3∥MP2，所以平面α2∥α3，
再过点A1，A4，分别作平面α1，α4，与平面α3平行，
那么四个平面α1，α2，α3，α4依次互相平行，
由线段A1A4被平行平面α1，α2，α3，α4截得的线段相等知，其
中每相邻两个平面间的距离相等，故α1，α2，α3，α4为所求平面．

（2）：当（1）中的四面体为正四面体，若所得的四个平行平面每相邻两平面之间的距离为1，
则正四面体A1A2A3A4就是满足题意的正四面体．
设正四面体的棱长为a，以△A2A3A4的中心O为坐标原点，以直线A4O为y轴，直线OA1为Z轴建立如图所示的右手直角坐标系，
则A1（0，0，a），A2（-，a，0），A3（，a，0），A4（0，a，0）．
令P2，P3为．A1A4的三等分点，N为A2A4的中点，有P3（0，a，a），N（-，-a，0），
所以=（-，a，-a），=（a，a，0），=（-，a，0）
设平面A3P3N的法向量=（x，y，z），有即，
所以=（1，-，-）．因为α1，α2，α3，α4相邻平面之间的距离为1，
所以点A4到平面A3P3N 的距离=1，解得a=，
由此可得，边长为的正四面体A1A2A3A4满足条件．
所以所求四面体的体积V=Sh=××a=a3=．