Question

数列{a_n}中，a_n+1+a_n=3n-54（n∈N^*）．
（1）若a₁=-20，求{a_n}的通项公式a_n；
（2）设S_n为{a_n}的前n项和，当a₁＞-27时，求S_n的最小值．

Answer

（1）利用题设递推式表示出an+2+an+1，两式相减求得an+2-an为常数，进而判断出a1，a3，a5，与a2，a4，a6，都是d=3的等差数列，进而分别看n为奇数和偶数时利用叠加法和等差数列求和公式求得答案．
（2）分别看n为奇数和偶数时表示出Sn，利用二次函数的性质分别求得其最小值，最后综合可得答案．
【解析】
（1）∵，两式相减得an+2-an=3，
∴a1，a3，a5，，与a2，a4，a6，都是d=3的等差数列
∵a1=-20
∴a2=-31，
①当n为奇数时，；
②当n为偶数时，；
（2）①当n为偶数时，Sn=（a1+a2）+（a3+a4）++（an-1+an）
=（3×1-54）+（3×3-54）++[3（n-1）-54]=3[1+3+5++（n-1）]-×54=-243，
∴当n=18时，（Sn）min=-243；
②当n为奇数时，Sn=a1+（a2+a3）++（an-1+an）=，
∴当n=17或19时（Sn）min=a1-216＞-243；综上，当n=18时（Sn）min=-243．