Question

定义在（0，+∞）的函数，其中e=2.71828…是自然对数的底数，a∈R．
（1）若函数f（x）在点x=1处连续，求a的值；
（2）若函数f（x）为（0，1）上的单调函数，求实数a的取值范围，并判断此时函数f（x）在（0，+∞）上是否为单调函数；
（3）当x∈（0，1）时，记g（x）=lnf（x）+x²-ax，试证明：对n∈N^*，当n≥2时，有．

Answer

（1）若函数f（x）在点x=1处连续，则说明当x=1时，分段函数两段函数的解析式均相等，即ea-1=1．解指数方程即可得到答案．
（2）函数f（x）为（0，1）上的单调函数，则f'（x）在区间（0，1）上恒小于0，或恒大于0，由此分类讨论后，构造关于a的不等式，解不等式即可得到答案．由此再判断f'（x）在区间（0，+∞）上的符号，即可判断函数f（x）在（0，+∞）上是否为单调函数；
（3）当x∈（0，1）时，g（x）=lnf（x）+x2-ax=lnx．则可将不等式．变形为-1-2-3-^-（n-1）＜ln1+ln+ln+…+ln＜1+++…+-n，分别构造函数h（t）=lnt-1+与s（t）=lnt-t+1，并判断两个函数在区间（0，1）上的单调性，可得到1-＜lnt＜t-1，其中t∈（0，1），代入即可证明结论．
【解析】
（1）∵f（1）=1，，已知f（x）在点x=1处连续，
∴有ea-1=1．
∴a=1．
（2）当x∈（0，1）时，f（x）=x
此时，f'（x）=+x（-2x-a）=（-2x2+ax+1），
∵＞0，，
∴f'（x）不可能在（0，1）上恒小于0．
故f（x）在（0，1）上必为增函数．
∴-2x2+ax+1 0在（0，1）上恒成立．
⇔a≥=2x-在（0，1）上恒成立．
设u（x）=2x-，x∈（0，1）．
∵u（x）在（0，1）上是增函数，u（x）＜1．
∴当a≥1时，f（x）在（0，1）上是增函数．
又当a=1时，f（x）在（0，+∞）上也是增函数；
当a＞1时，∵==ea-1＞1=f（1），
此时，f（x）在（0，+∞）上不是增函数．
（3）当x∈（0，1）时，g（x）=lnf（x）+x2-ax=lnx．
当n≥2时，
欲证，
需证：-1-2-3-^-（n-1）＜＜1+++…+-n
即需证-1-2-3-^-（n-1）＜ln1+ln+ln+…+ln＜1+++…+-n
猜想：1-＜lnt＜t-1，其中t∈（0，1）．
下面证明之．构造函数h（t）=lnt-1+，t∈（0，1）．
∵h'（t）=-=＜0，
∴h（t）在（0，1）上是减函数，而，
∴h（t）＞h（1）=0，即有1-＜lnt
设s（t）=lnt-t+1，t∈（0，1）．
同理可证：s（t）＜0，
即有1-＜lnt＜t-1，其中t∈（0，1）．
分别取t=，，…，（n≥2），所以有n个不等式相加即得：
-1-2-3-^-（n-1）＜ln1+ln+ln+…+ln＜1+++…+-n，
∴