Question

如图，某小区准备绿化一块直径为BC的半圆形空地，△ABC外的地方种草，△ABC的内接正方形PQRS为一水池，其余地方种花．若BC=20米，∠ABC=θ，设△ABC的面积为S₁，正方形PQRS的面积为S₂，将比值称为“规划合理度”．
（1）试用θ表示S₁和S₂．
（2）当θ变化时，求“规划合理度”取得最小值时的角θ的大小．

Answer

（1）据题知三角形ABC为直角三角形，根据三角函数分别求出AC和AB，求出三角形ABC的面积S1；设正方形PQRS的边长为x，利用三角函数分别表示出BQ和RC，利用BQ+QR+RC=20列出方程求出x，算出S2；
（2）由比值称为“规划合理度”，可设t=sin2θ来化简求出S1与S2的比值，利用三角函数的增减性求出比值的最小值即可求出此时的θ．
【解析】
（1）如图，在Rt△ABC中，AC=20sinθ，AB=20cosθ，
=100sin2θ，
设正方形的边长为x则，
∴，
∴=，；
（2）t=sin2θ而S2=∴，
∵0＜θ＜，又0＜2θ＜π，∴0＜t≤1∴为减函数
当t=1时取得最小值为此时．