Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=n²+2n．数列{b_n}中，b₁=1，（n≥2）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若存在常数t使数列{b_n+t}是等比数列，求数列{b_n}的通项公式；
（3）求证：①b_n+1＞2b_n；②．

Answer

（1）当n≥2时，根据an=Sn-Sn-1求得数列{an}的通项公式；n=1时，a1=S1，进而可得答案．
（2）根据（1）中求得的{an}的通项公式，代入后等号两边同时加1，整理可得bn+1=2（bn-1+1），同时判断n=1时，也成立，进而可知{bn+1}是以2为首项，2为公比的等比数列，进而可判定t的值和数列{bn+1}的通项公式，最后可得数列{bn}的通项公式．
（3）把（1）中的bn，代入bn+1-2bn整理后可知bn+1-2bn=1＞0，进而可判定bn+1＞2bn；设，根据bn+1＞2bn则可判定S＜，整理即可使原式得证．
【解析】
（1）n=1时，a1=S1=3，n≥2时，an=Sn-Sn-1=（n2+2n）-（n-1）2-2（n-1）=2n+1，
且n=1时也适合此式，故数列{an}的通项公式是an=2n+1；
（2）依题意，n≥2时，，
∴bn+1=2（bn-1+1），又b1+1=2，
∴{bn+1}是以2为首项，2为公比的等比数列，
即存在常数t=2使数列{bn+t}是等比数列bn+1=2•2n-1=2n，即bn=2n-1．
（3）①bn+1-2bn=（2n+1-1）-2（2n-1）=1＞0所以bn+1＞2bn对一切自然数n都成立．
②由bn+1＞2bn得，设，
则S=，所以．