Question

如图，在△ABC中，∠B=，AB=BC=2，P为AB边上一动点，PD∥BC，P为AB边上一动点，PD∥BC交AC于点D，现将△PDA沿PD翻折至△PDA′，使平面PDA′⊥平面PBCD．
（1）当棱锥A′-PBCD的体积最大时，求PA的长；
（2）若点P为AB的中点，E为A′C的中点，求证：A′B⊥DE．

Answer

（1）令PA=x（0＜x＜2）求出体积表达式，利用导数确定函数的单调性，求出函数的最大值．
（2）设F为A′B的中点，连接PF，FE，通过PDEF是平行四边形，证明A′B⊥DE．
【解析】
（1）令PA=x（0＜x＜2），则A′P=PD=x．BP=2-x，因为A′P⊥PD
且平面A′PD⊥平面PBCD，故A′P⊥平面PBCD，所以
令f（x）=，由f′（x）=得x=，
当x∈（0，）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
当x∈（，2）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，
所以，当x=时，f（x）取得最大值，
即：体积最大时，PA=．
（2）设F为A′B的中点，连接PF，FE，则有EF∥BC，EF=BC，PD∥BC，PD=BC，
所以DE∥PF，又A′P=PB，所以PF⊥A′B．
故DE⊥A′B