Question

设f（x）=x³+mx²+nx．
（1）如果g（x）=f′（x）-2x-3在x=-2处取得最小值-5，求f（x）的解析式；
（2）如果m+n＜10（m，n∈N⁺），f（x）在单调递减区间的长度是正整数，试求m和n的值．（注：区间（a，b）的长度为b-a）

Answer

（1）先由导数知识求出g（x），然后利用配方法把二次函数g（x）表示成顶点式，再根据g（x） 在x=-2处取得最小值-5，可列方程组求得m、n的值，则问题解决．
（2）首先求出f（x）的导函数f′（x）=x2+2mx+n（二次函数），然后根据f（x）的单调递减区间的长度是正整数，可判断函数f′（x）=x2+2mx+n有两个不同的零点x1、x2，且利用根与系数的关系能表示出|x1-x2|=2，再由“此长度是正整数”且“m+n＜10（m，n∈N+）”为突破口，对m、n进行分类讨论，最后找到满足要求的m、n．
【解析】
（1）由题意得g（x）=f′（x）-2x-3=x2+2mx+n-2x-3=（x+m-1）2+（n-3）-（m-1）2，
又g（x） 在x=-2处取得最小值-5，
所以，解得m=3，n=2．
所以f（x）=x3+3x2+2x． 
（2）因为f′（x）=x2+2mx+n且f（x）的单调递减区间的长度是正整数，
所以方程f′（x）=0，即x2+2mx+n=0必有两不等实根，
则△=4m2-4n＞0，即m2＞n．
不妨设方程f′（x）=0的两根分别为x1、x2，则|x1-x2|==2且为正整数．
又因为m+n＜10（m，n∈N+），所以m≥2时才能有满足条件的m、n．
当m=2时，只有n=3符合要求；
当m=3时，只有n=5符合要求；
当m≥4时，没有符合要求的n．
故只有m=2，n=3或m=3，n=5满足上述要求．