Question

（1）已知两个等比数列{a_n}，{b_n}，满足a₁=a（a＞0），b₁-a₁=1，b₂-a₂=2，b₃-a₃=3，若数列{a_n}唯一，求a的值；
（2）是否存在两个等比数列{a_n}，{b_n}，使得b₁-a₁，b₂-a₂，b₃-a₃．b₄-a₄成公差不 为0的等差数列？若存在，求{a_n}，{b_n}的通项公式；若不存在，说明理由．

Answer

（1）设等比数列{an}的公比为q，根据等比数列的通项公式，由b1-a1=1，b2-a2=2，b3-a3=3表示出b1，b2，b3，根据b1，b2，b3成等比数列，再根据等比数列的通项公式得到等比数列{an}的首项与公比的关系式，把q看作未知数，根据a大于0得出根的判别式大于0，进而得到方程有两个不同的实根，又数列{an}唯一，得到方程必有一根为0，把q=0代入方程即可得到关于a的方程，求出方程的解即可得到a的值；
（2）利用反证法进行证明，假设存在，分别设出两等比数列的公比，根据等差数列的通项公式，b1-a1，b2-a2，b3-a3，b4-a4成公差不为0的等差数列，列出关系式，化简后分别求出两等比数列的首项及公比，分别求出b1-a1，b2-a2，b3-a3，b4-a4的公差为0，与已知的公差不为0矛盾，假设错误，进而得到不存在两个等比数列{an}，{bn}，使得b1-a1，b2-a2，b3-a3．b4-a4成公差不 为0的等差数列．
【解析】
（1）设{an}的公比为q，
∵a1=a（a＞0），b1-a1=1，b2-a2=2，b3-a3=3，
∴b1=1+a，b2=2+aq，b3=3+aq2，
∵b1，b2，b3成等比数列，
∴（2+aq）2=（1+a）（3+aq2）即aq2-4aq+3a-1=0，
∵a＞0，
∴△=4a2+4a＞0，
∴方程有两个不同的实根，
又∵数列{an}唯一，
∴方程必有一根为0，将q=0代入方程得a=，
∴a=；
（2）假设存在两个等比数列{an}，{bn}，使b1-a1，b2-a2，b3-a3，b4-a4成公差不为0的等差数列，
设{an}的公比为q1，{bn}的公比为q2，
则b2-a2=b1q2-a1q1，b3-a3=b1q22-a1q12，b4-a4=b1q23-a1q13，
由b1-a1，b2-a2，b3-a3，b4-a4成的等差数列得：

即，
①×q2-②得：a1（q1-q2）（q1-1）2=0，
由a1≠0得：q1=q2或q1=1，
（i）当q1=q2时，由①，②得b1=a1或q1=q2=1，这时（b2-a2）-（b1-a1）=0与公差不为0矛盾；
（ii）q1=1时，由①，②得b1=0或q2=1，这时（b2-a2）-（b1-a1）=0与公差不为0矛盾，
综上所述，不存在两个等比数列{an}，{bn}，使得b1-a1，b2-a2，b3-a3．b4-a4成公差不为0的等差列．