Question

若△ABC三边成等差数列，则B的范围是     ；若△ABC三边成等比数列，则B的范围是     ．

Answer

设出三角形的三边分别为a，b，c，由三边成等差数列，利用等差数列的性质可知2b等于a+c，利用余弦定理表示出cosB，然后把b等于a+c的一半代入，利用基本不等式即可求出cosB的最小值，根据B的范围及余弦函数在此区间为减函数即可得到B的范围；当三边成等比数列时，利用等比数列的性质得到b的平方等于ac的积，同理利用余弦定理表示出cosB，把求出的关系式代入后，利用基本不等式即可得到cosB的最小值，根据B的范围，且根据余弦函数在此范围为减函数，即可得到B的范围．
【解析】
设三角形的三边分别为a，b，c，
由三边成等差数列可知：b=，
由余弦定理得：cosB===≥=，
当且仅当a=c时取等号，
又B∈（0，π），且余弦函数在此区间为减函数，所以B∈（0，]；
由三边成等比数列可知：b2=ac，
由余弦定理得：cosB==≥=，
同理可得B∈（0，]．
故答案为：（0，]；（0，]．