Question

已知△ABC中，sinA（sinB+cosB）=sinC，BC=3，则△ABC的周长的取值范围是    ．

Answer

把已知条件的左边利用乘法分配律化简，右边由三角形的内角和定理，利用诱导公式及两角和的正弦函数公式化简后，左右两边抵消后，即可求出tanA的值，根据A的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数，然后利用正弦定理分别表示出AC和AB，利用三角形的周长的求法三边相加，把A的度数代入利用特殊角的三角函数值化简后，提取6，利用两角和的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，根据B的范围求出B+的范围，进而得到正弦函数的值域范围，根据正弦函数的值域即可得到三角形周长的范围．
【解析】
由sinA（sinB+cosB）=sinC，
得：sinAsinB+sinAcosB=sin[π-（A+B）]=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB，
即：sinAsinB=cosAsinB，
得到：tanA=，又A∈（0，π），得到A=，
所以sinA=sin=，cosA=cos=，
根据正弦定理得：==，
所以AB===2sinC；AC===2sinB，
则△ABC的周长=AB+AC+BC=2sinC+2sinB+3
=2sin（π-A-B）+2sinB+3
=2（sinAcosB+cosAsinB）+2sinB+3
=2（cosB+sinB）+2sinB+3
=3cosB+3sinB+3
=6（cosB+sinB）+3
=6sin（B+）+3
由0＜B＜，得到＜B+＜，
所以sin（B+）的值域为（，1]，
则△ABC的周长的取值范围是（6，9]．
故答案为：（6，9]