Question

如图所示，半圆O的直径为2，A为半圆直径的延长线上的一点，且OA=2，B为半圆上任一点，以AB为边作等边△ABC，问B在什么地方时，四边形OACB的面积最大？并求出这个面积的最大值．

Answer

本题考查的知识是余弦定理，及正弦型函数的性质，由于∠AOB的大小不确定，故我们可以设∠AOB=θ，并根据余弦定理，表示出△ABC的面积及△OAB的面积，进而表示出四边形OACB的面积，并化简函数的解析式为正弦型函数的形式，再结合正弦型函数最值的求法进行求解．
【解析】
四边形OACB的面积=△OAB的面积+△ABC的面积
设∠AOB=θ，
则△ABC的面积=
=
=
△OAB的面积=•OA•OB•sinθ
=•2•1•sinθ=sinθ
四边形OACB的面积==
∴当θ-60°=90°，
即θ=150°时，四边形OACB的面积最大，
其最大面积为．