Question

田忌和齐王赛马是历史上著名的故事．设齐王的三匹马分别记为a₁，a₂，a₃，田忌的三匹马分别记为b₁，b₂，b₃，三匹马各比赛一场，胜两场者获胜．若这六匹马比赛优劣程度可用不等式a₁＞b₁＞a₂＞b₂＞a₃＞b₃表示．
（Ⅰ）如果双方均不知道比赛的对阵方式，求田忌获胜的概率；
（Ⅱ）田忌为了得到更大的获胜概率，预先派出探子到齐王处打探实情，得知齐王第一场必出上等马，那么，田忌应该怎样安排出马顺序，才能使自己获胜的概率最大？最大概率是多少？

Answer

方法一：用列举法，根据题意，记ai与bj的比赛为（ai，bj），
（Ⅰ）列举比赛的可能情况，根据题意，查找可得田忌获胜的情况数目，由古典概型的公式，计算可得答案；
（Ⅱ）根据题意，在（Ⅰ）列举的情况中，查找，分2种情况讨论后两场有两种情形，进而可得答案；
方法二：用列表法，根据题意，将各种比赛的情况用表格表示出来；
（Ⅰ）由所列的表格，查找可得田忌获胜的情况数目，进而计算可得答案；
（Ⅱ）由所列的表格，结合古典概型的概率的计算公式，易得答案．
【解析】
法一：记ai与bj的比赛为（ai，bj），（i，j=1，2，3）
（Ⅰ）齐王与田忌赛马，有如下六种情况：
（a1，b1）、（a2，b2）、（a3，b3），（a1，b1）、（a2，b3）、
（a3，b2），（a2，b1）、（a1，b2）、（a3，b3），（a2，b1）、
（a1，b3）、（a3，b2），（a3，b1）、（a1，b2）、（a2，b3），
（a3，b1）、（a1，b3）、（a2，b2）． （3分）
其中田忌获胜的只有一种（a2，b1）、（a1，b3）、（a3，b2），
所以田忌获胜的概率为．（6分）
（Ⅱ）已知齐王第一场必出上等马a1，若田忌第一场出上等马b1或中等马b2，则剩下两场中至少输掉一场，这时田忌必败．
为了使自己获胜的概率最大，田忌第一场应出下等马b3，后两场有两种情形：
①若齐王第二场派出中等马a2，可能对阵情形是（a2，b1）、（a3，b2）或者（a2，b2）、（a3，b1），所以田忌获胜的概率为；（9分）
②若齐王第二场派出下等马a3，可能对阵情形是（a3，b1）、（a2，b2）或者（a3，b2）、（a2，b1），所以田忌获胜的概率为，
所以田忌按b3，b1，b2或者b3，b2，b1的顺序出马，才能使自己获胜的概率达到最大值．（12分）
法二：各种对阵情况列成下列表格：
（3分）
（Ⅰ）其中田忌获胜的只有第五种这一种情形，所以田忌获胜的概率为．（6分）
（Ⅱ）为了使自己获胜的概率最大，田忌第一场应出下等马b3，
即只能是第五、第六两种情形． （9分）
其中田忌获胜的只有第五种这一种情形，
所以田忌按b3，b1，b2或者b3，b2，b1的顺序出马，才能使自己获胜的概率达到最大值．（12分）