Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠BAC=90°，AB=AC=AA₁=1，延长A₁C₁至点P，使C₁P=A₁C₁，连接AP交棱CC₁于点D．
（Ⅰ）求证：PB₁∥平面BDA₁；
（Ⅱ）求二面角A-A₁D-B的平面角的余弦值．

Answer

以A1为原点，A1B，A1C，A1A分别为x轴，y轴，z轴正方向，建立坐标系，则我们易求出各个点的坐标，进而求出各线的方向向量及各面的法向量．
（I）要证明PB1∥平面BDA1，我们可以先求出直线PB1的向量，及平面BDA1的法向量，然后判断证明这两个向量互相垂直
（II）由图象可得二面角A-A1D-B是一个锐二面角，我们求出平面AA1D与平面A1DB的法向量，然后求出两个法向量夹角的余弦值，得到结论．
【解析】
以A1为原点，A1B，A1C，A1A分别为x轴，y轴，z轴正方向，建立坐标系，
则A1（0，0，0），B1（1，0，0），C1（0，1，0），B（1，0，1），P（0，2，0）
（1）在△PAA1中，C1D=AA1，则D（0，1，）
∴=（1，0，1），=（0，1，），=（-1，2，0）
设平面BDA1的一个法向量为=（a，b，c）
则
令c=-1，则=（1，，-1）
∵•=1×（-1）+×2+（-1）×0=0
∴PB1∥平面BDA1
（II）由（I）知平面BDA1的一个法向量=（1，，-1）
又=（1，0，0）为平面AA1D的一个法向量
∴cos＜，＞===
故二面角A-A1D-B的平面角的余弦值为