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高中数学试题
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过点C(0,1)的椭圆+=1(a>b>0)的离心率为,椭圆与x轴交于两点A(A,...
过点C(0,1)的椭圆
+
=1(a>b>0)的离心率为
,椭圆与x轴交于两点A(A,0)、B(-a,0),过点C的直线l与椭圆交于另一点D,并与x轴交于点P,直线AC与直线BD交于点Q.
(I)当直线l过椭圆右焦点时,求线段CD的长;
(Ⅱ)当点P异于点B时,求证:
为定值.
(I)当直线l过椭圆右焦点时,写出直线l的方程,并和椭圆联立方程,求得点D的坐标,根据两点间距离公式即可求得线段CD的长; (Ⅱ)设出直线l的方程,并和椭圆联立方程,求得点D的坐标,并求出点P的坐标,写出直线AC与直线BD的方程,并解此方程组,求得Q点的坐标,代入即可证明结论. 【解析】 (I)由已知得b=1,,解得a=2, 所以椭圆的方程为. 椭圆的右焦点为(,0),此时直线l的方程为y=-x+1, 代入椭圆方程化简得7x2-8x=0. 解得x1=0,x2=,代入直线l的方程得y1=1,y2=-, 所以D点坐标为(,-) 故|CD|=; (Ⅱ)当直线l与x轴垂直时与题意不符,设直线l的方程为y=kx+1(k≠0,k≠) 代入椭圆方程化简得(4k2+1)x2+8kx=0, 解得x1=0,x2=,代入直线l的方程得y1=1,y2=, 所以D点坐标为(,), 又直线AC的方程为,直线BD的方程为y=, 联立解得, 因此Q点坐标为(-4k,2k+1), 又P点坐标为(-,0), ∴=(-,0)•(-4k,2k+1)=4, 故为定值.
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考点分析:
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n
﹜是以a为首项,q为公比的等比数列,S
n
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(Ⅰ)当S
1
,S
3
,S
4
成等差数列时,求q的值;
(Ⅱ)当S
m
,S
n
,S
l
成等差数列时,求证:对任意自然数k,a
m+k
,a
n+k
,a
l+k
也成等差数列.
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1
B
1
C
1
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1
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1
C
1
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1
P=A
1
C
1
,连接AP交棱CC
1
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1
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1
;
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1
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2
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,
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1
,x
2
∈A,且f(x
1
)=f(x
2
)时总有x
1
=x
2
,则称f(x)为单函数.例如f(x)=2x+1(x∈R)是单函数,下列命题:
①函数f(x)=x
2
(x∈R)是单函数;
②函数f(x)=2
x
(x∈R)是单函数,
③若f(x)为单函数,x
1
,x
2
∈A且x
1
≠x
2
,则f(x
1
)≠f(x
2
);
④在定义域上具有单调性的函数一定是单函数
其中的真命题是
(写出所有真命题的编号)
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试题属性
题型:解答题
难度:中等
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