Question

已知圆（x+4）²+y²=25的圆心为M₁，圆（x-4）²+y²=1的圆心为M₂，一动圆与这两个圆都外切．
（1）求动圆圆心P的轨迹方程；
（2）若过点M₂的直线与（1）中所求轨迹有两个交点A、B，求|AM₁|•|BM₁|的取值范围．

Answer

（1）利用两圆相外切，两圆心距离等于两圆半径的和，得到|PM1|-|PM2|=4；利用双曲线的定义及双曲线方程的形式，
求出动圆圆心P的轨迹方程．
（2）将直线方程与双曲线方程联立，通过根与系数的关系及判别式求出斜率k的范围；利用双曲线的定义将AM1|•|BM1|的取值范围表示成k的函数，求出函数的值域．
【解析】
（1）∵|PM1|-5=|PM2|-1，∴|PM1|-|PM2|=4
∴动圆圆心P的轨迹是以M1、M2为焦点的双曲线的右支．
c=4，a=2，b2=12，
故所求轨迹方程为-=1（x≥2）．
（2）当过M2的直线倾斜角不等于时，设其斜率为k，
直线方程为y=k（x-4）
与双曲线3x2-y2-12=0联立，消去y化简得（3-k2）x2+8k2x-16k2-12=0
又设A（x1，y1），B（x2，y2），x1＞0，x2＞0
由解得k2＞3．
由双曲线左准线方程x=-1且e=2，有|AM1|•|BM1|=e|x1+1|•e|x2+1|=4[x1x2+（x1+x2）+1]
=4（++1）=100+
∵k2-3＞0，∴|AM1|×|BM1|＞100
又当直线倾斜角等于时，A（4，y1），B（4，y2），|AM1|=|BM1|=e（4+1）=10
|AM1|•|BM1|=100故|AM1|•|BM1|≥100．