Question

已知a、b是两个非零向量，当a+tb（t∈R）的模取最小值时，
（1）求t的值；
（2）求证：b⊥（a+tb）．

Answer

（1）设出两个向量的夹角，表示出两个向量的模长，对于模长形式，通常两边平方，得到与已知条件有关的运算，整理成平方形式，当底数为零时，结果最小．
（2）本题要证明两个向量垂直，这种问题一般通过向量的数量积为零来证明，求两个向量数量积，根据上一问做出的结果，代入数量积的式子，合并同类项，得到数量积为零．得到垂直．
（1）【解析】
设与的夹角为θ，
∵|+t|2=（+t）2=||2+t2||2+2•（t）=||2+t2||2+2t||||cosθ
=||2（t+cosθ）2+||2sin2θ，
∴当t=-  cosθ=-=-时，|+t|有最小值．
（2）证明：∵•（+t）=•（-•）=•-•=0，
∴⊥（t）．