Question

如图，△ABC的BC边的中点为M，利用向量证明：AB²+AC²=2（AM²+BM²）．

Answer

根据题意和向量加法的四边形法则列出向量、和的关系，利用数量积和余弦定理把向量转化为三角形中边之间的关系．
证明：设=，=，=，
∵BC边的中点为M，
∴由四边形法则得=，
∴•=•=•+•+2
=2+2+||•||•cos∠BAC
=||2+||2+||•||•
=AB2+AC2+（AB2+AC2-BC2）．
∴AM2=AB2+AC2-BC2．
又∵BC2=4BM2，
∴AB2+AC2=2（AM2+BM2）．