Question

已知方程x²+4ax+3a+1=0（a为大于1的常数）的两根为tanα，tanβ，且α、β∈（-，），则tan的值是    ．

Answer

根据韦达定理表示出tanα+tanβ和tanαtanβ，然后利用两角和的正切函数公式求出tan（α+β）的值，然后根据半角的三角函数公式列出关于tan的方程，求出方程的解即可得到tan的值，根据α和β的范围求出α+β的范围，进而求出的范围，即可得到满足题意的tan的值．
【解析】
由方程x2+4ax+3a+1=0（a为大于1的常数）的两根为tanα，tanβ，
得到tanα+tanβ=-4a＜0，tanαtanβ=3a+1＞，
则tan（α+β）===＞0，tanα＜0，tanβ＜0，
又因为α、β∈（-，），得到α+β∈（-π，π），
所以α+β∈（-π，-），则∈（-，-），
而tan（α+β）=，
所以=，即（2tan-1）（tan+2）=0，
解得tan=（不合题意，舍去），tan=-2，
故答案为：-2