Question

已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₃=5，S₁₅=225．数列{b_n}是等比数列，b₃=a₂+a₃，b₂b₅=128（其中n=1，2，3，…）．
（I）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；（II）记c_n=a_nb_n，求数列c_n前n项和T_n．

Answer

（I）在数列{an}中，把已知条件用首项a1，公差d表示，联立方程可求a1和d；在数列{bn}中，用b1和公比q把已知表示，求出b1和公比q
（II）由（I）可知cn=（2n-1）•2n，利用错位相减求出数列的和
【解析】
（I）公差为d，
则，
∴故an=2n-1（n=1，2，3，…）．
设等比数列bn的公比为q，则，∴b3=8，q=2
∴bn=b3•qn-3=2n（n=1，2，3，…）．
（II）∵cn=（2n-1）•2n∵Tn=2+3•22+5•23+…+（2n-1）•2n
2Tn=22+3•23+5•24+…+（2n-3）•2n+（2n-1）•2n+1
作差：-Tn=2+23+24+25+…+2n+1-（2n-1）•2n+1
=
=2+23（2n-1-1）-（2n-1）•2n+1=2+2n+2-8-2n+2n+2n+1=-6-2n+1（2n-3）
∴TN=（2n-3）•2n+1+6（n=1，2，3，…）．