Question

在平面直角坐标系xOy中，已知P是函数f（x）=e^x（x＞0）的图象上的动点，该图象在点P处的切线l交y轴于点M，过点P作l的垂线交y轴于点N，设线段MN的中点的纵坐标为t，则t的最大值是    ．

Answer

先设切点坐标为（m，em），然后根据导数的几何意义求出函数f（x）在x=m处的导数，从而求出切线的斜率，求出切线方程，从而求出点M的纵坐标，同理可求出点N的纵坐标，将t用m表示出来，最后借助导数的方法求出函数的最大值即可．
【解析】
设切点坐标为（m，em）
∴该图象在点P处的切线l的方程为y-em=em（x-m）
令x=0，解得y=（1-m）em
过点P作l的垂线的切线方程为y-em=-e-m（x-m）
令x=0，解得y=em+me-m
∴线段MN的中点的纵坐标为t=[（2-m）em+me-m]
t'=[-em+（2-m）em+e-m-me-m]，令t'=0解得：m=1
当m∈（0，1）时，t'＞0，当m∈（1，+∞）时，t'＜0
∴当m=1时t取最大值
故答案为：