Question

请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E、F在AB上，是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE=FB=x（cm）．
（1）若广告商要求包装盒侧面积S（cm²）最大，试问x应取何值？
（2）若广告商要求包装盒容积V（cm³）最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．

Answer

（1）可设包装盒的高为h（cm），底面边长为a（cm），写出a，h与x的关系式，并注明x的取值范围．再利用侧面积公式表示出包装盒侧面积S关于x的函数解析式，最后求出何时它取得最大值即可；
（2）利用体积公式表示出包装盒容积V关于x的函数解析式，最后利用导数知识求出何时它取得的最大值即可．
【解析】
设包装盒的高为h（cm），底面边长为a（cm），则a=x，h=（30-x），0＜x＜30．
（1）S=4ah=8x（30-x）=-8（x-15）2+1800，
∴当x=15时，S取最大值．
（2）V=a2h=2（-x3+30x2），V′=6x（20-x），
由V′=0得x=20，
当x∈（0，20）时，V′＞0；当x∈（20，30）时，V′＜0；
∴当x=20时，包装盒容积V（cm3）最大，
此时，．
即此时包装盒的高与底面边长的比值是．