Question

设M为部分正整数组成的集合，数列{a_n}的首项a₁=1，前n项和为S_n，已知对任意整数k∈M，当整数n＞k时，S_n+k+S_n-k=2（S_n+S_k）都成立
（1）设M={1}，a₂=2，求a₅的值；
（2）设M={3，4}，求数列{a_n}的通项公式．

Answer

（1）由集合M的元素只有一个1，得到k=1，所以当n大于1即n大于等于2时，Sn+1+Sn-1=2（Sn+S1）都成立，变形后，利用Sn+1-Sn=an+1，及a1=1化简，得到当n大于等于2时，此数列除去首项后为一个等差数列，根据第2项的值和确定出的等差写出等差数列的通项公式，因为5大于2，所以把n=5代入通项公式即可求出第5项的值；
（2）当n大于k时，根据题意可得Sn+k+Sn-k=2（Sn+Sk），记作①，把n换为n+1，得到一个关系式记作②，②-①后，移项变形后，又k等于3或4得到当n大于等于8时此数列每隔3项或4项成等差数列，即an-6，an-3，an，an+3，an+6成等差数列，根据等差数列的性质得到一个关系式，记作（*），且an-6，an-2，an+2，an+6也成等差数列，又根据等差数列的性质得到另外一个关系式，等量代换得到an+2-an=an-an-2，得到当n大于等于9时，每隔两项成等差数列，设出等差数列的四项，根据等差数列的性质化简变形，设d=an-an-1，从而得到当n大于等于2小于等于8时，n+6大于等于8，把n+6代入（*）中，得到一个关系式，同时把n+7也代入（*）得到另外一个关系式，两者相减后根据设出的d=an-an-1，经过计算后，得到n大于等于2时，d=an-an-1都成立，从而把k=3和k=4代入到已知的等式中，化简后得到d与前3项的和及d与前4项和的关系式，两关系式相减即可表示出第4项的值，根据d=an-an-1，同理表示出第3项，第2项及第1项，得到此数列为等差数列，由首项等于1即可求出d的值，根据首项和等差写出数列的通项公式即可．
【解析】
（1）由M={1}，根据题意可知k=1，所以n≥2时，Sn+1+Sn-1=2（Sn+S1），
即（Sn+1-Sn）-（Sn-Sn-1）=2S1，又a1=1，
则an+1-an=2a1=2，又a2=2，
所以数列{an}除去首项后，是以2为首项，2为公差的等差数列，
故当n≥2时，an=a2+2（n-2）=2n-2，
所以a5=8；
（2）根据题意可知当k∈M={3，4}，
且n＞k时，Sn+k+Sn-k=2（Sn+Sk）①，且Sn+1+k+Sn+1-k=2（Sn+1+Sk）②，
②-①得：（Sn+1+k-Sn+k）+（Sn+1-k-Sn-k）=2（Sn+1-Sn），
即an+1+k+an+1-k=2an+1，可化为：an+1+k-an+1=an+1-an+1-k
所以n≥8时，an-6，an-3，an，an+3，an+6成等差数列，且an-6，an-2，an+2，an+6也成等差数列，
从而当n≥8时，2an=an-3+an+3=an-6+an+6，（*）且an-2+an+2=an-6+an+6，
所以当n≥8时，2an=an-2+an+2，即an+2-an=an-an-2，
于是得到当n≥9时，an-3，an-1，an+1，an+3成等差数列，从而an-3+an+3=an-1+an+1，
由（*）式可知：2an=an-1+an+1，即an+1-an=an-an-1，
当n≥9时，设d=an-an-1，
则当2≤n≤8时，得到n+6≥8，从而由（*）可知，2an+6=an+an+12，得到2an+7=an+1+an+13，
两式相减得：2（an+7-an+6）=an+1-an+（an+13-an+12），
则an+1-an=2d-d=d，
因此，an-an-1=d对任意n≥2都成立，
又由Sn+k+Sn-k-2Sn=2Sk，可化为：（Sn+k-Sn）-（Sn-Sn-k）=2Sk，
当k=3时，（Sn+3-Sn）-（Sn-Sn-3）=9d=2S3；同理当k=4时，得到16d=2S4，
两式相减得：2（S4-S3）=2a4=16d-9d=7d，解得a4=d，
因为a4-a3=d，解得a3=d，同理a2=d，a1=，
则数列{an}为等差数列，由a1=1可知d=2，
所以数列{an}的通项公式为an=1+2（n-1）=2n-1．