Question

 如图，在正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=2，AB=1，点N是BC的中点，点M在CC₁上．设二面角A₁-DN-M的大小为θ（1）当θ=90° 时，求AM 的长；
（2）当 时，求CM 的长．

Answer

（1）建立如图所示的空间直角坐标系，D-xyz，设CM=t（0≤t≤2），通过，求出平面DMN的法向量为，，求出平面A1DN的法向量为，推出（1）利用θ=90°求出M的坐标，然后求出AM的长．
（2）利用cos=以及，求出CM 的长．
【解析】
建立如图所示的空间直角坐标系，D-xyz，设CM=t（0≤t≤2），则各点的坐标为A（1，0，0），A1（1，0，2），
N（，1，0），M（0，1，t）；
所以=（，1，0）.=（1，0，2），=（0，1，t）
设平面DMN的法向量为=（x1，y1，z1），则，，
即x1+2y1=0，y1+tz1=0，令z1=1，则y1=-t，x1=2t所以=（2t，-t，1），
设平面A1DN的法向量为=（x2，y2，z2），则，，
即x2+2z2=0，x2+2y2=0，令z2=1则y2=1，x2=-2所以=（-2，1，1），

（1）因为θ=90°，所以 解得t=从而M（0，1，），
所以AM=
（2）因为，所以，
cos==
因为=θ或π-θ，所以=解得t=0或t=
根据图形和（1）的结论，可知t=，从而CM的长为．