Question

设整数n≥4，P（a，b） 是平面直角坐标系xOy 中的点，其中a，b∈{1，2，3，…，n}，a＞b．
（1）记A_n 为满足a-b=3 的点P 的个数，求A_n；
（2）记B_n 为满足 是整数的点P 的个数，求B_n．

Answer

（1）An 为满足a-b=3 的点P 的个数，显然P（a，b）的坐标的差值，与An中元素个数有关，直接写出An的表达式即可．
（2）设k为正整数，记fn（k）为满足题设条件以及a-b=3k的点P的个数，讨论fn（k）≥1的情形，推出fn（k）=n-3k，根据k的范围，说明n-1是3的倍数和余数，
然后求出Bn．
【解析】
（1）点P的坐标中，满足条件：1≤b=a-3≤n-3，所以An=n-3；
（2）设k为正整数，记fn（k）为满足题设条件以及a-b=3k的点P的个数，只要讨论fn（k）≥1的情形，由1≤b=a-3k≤n-3k，
知fn（k）=n-3k且，设n-1=3m+r，其中m∈N+，r∈{0，1，2}，则k≤m，所以
Bn===mn-=
将m=代入上式，化简得Bn=
所以Bn=