Question

设椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁，F₂．点P（a，b）满足|PF₂|=|F₁F₂|．
（Ⅰ）求椭圆的离心率e；
（Ⅱ）设直线PF₂与椭圆相交于A，B两点，若直线PF₂与圆（x+1）²+=16相交于M，N两点，且|MN|=|AB|，求椭圆的方程．

Answer

（Ⅰ）直接利用|PF2|=|F1F2|，对应的方程整理后即可求椭圆的离心率e；
（Ⅱ）先把直线PF2与椭圆方程联立求出A，B两点的坐标以及对应的|AB|两点，进而求出|MN|，再利用弦心距，弦长以及圆心到直线的距离之间的等量关系，即可求椭圆的方程．
【解析】
（Ⅰ）设F1（-c，0），F2（c，0）    （c＞0）．
由题得|PF2|=|F1F2|，即=2c，整理得2+-1=0，得=-1（舍），或=，
所以e=．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知a=2c，b=c，可得椭圆方程为3x2+4y2=12c2，直线方程PF2为y=（x-c）．
A，B的坐标满足方程组，
消y并整理得5x2-8xc=0，
解得x=0，x=，得方程组的解为，，
不妨设A（c，c），B（0，-c）．
所以|AB|==c，于是|MN|=|AB|=2c．
圆心（-1，）到直线PF2的距离d=，
因为d2+=42，所以（2+c）2+c2=16，整理得c=-（舍）或c=2．
所以椭圆方程为+=1．