Question

已知数列{a_n}与{b_n}满足b_n+1a_n+b_na_n+1=（-2）ⁿ+1，b_n=，n∈N^*，且a₁=2．
（Ⅰ）求a₂，a₃的值
（Ⅱ）设c_n=a_2n+1-a_2n-1，n∈N^*，证明{c_n}是等比数列
（Ⅲ）设S_n为{a_n}的前n项和，证明++…++≤n-（n∈N^*）

Answer

（Ⅰ）推出bn的表达式，分别当n=1时，求出a2=-；当n=2时，解出a3=8；
（Ⅱ）设cn=a2n+1-a2n-1，n∈N*，利用等比数列的定义，证明{cn}是等比数列；
（Ⅲ）求出S2n，a2n，S2n-1，a2n-1，求出+的表达式，然后求出++…++的表达式，利用放缩法证明结果．
（Ⅰ）【解析】
由bn=，（n∈N*）可得bn=
又bn+1an+bnan+1=（-2）n+1，
当n=1时，a1+2a2=-1，可得由a1=2，a2=-；
当n=2时，2a2+a3=5可得a3=8；
（Ⅱ）证明：对任意n∈N*，
a2n-1+2a2n=-22n-1+1…①
2a2n+a2n+1=22n+1…②
②-①，得a2n+1-a2n-1=3×22n-1，即：cn=3×22n-1，于是
所以{cn}是等比数列．
（Ⅲ）证明：
a1=2，由（Ⅱ）知，当k∈N*且k≥2时，
a2k-1=a1+（a3-a1）+（a5-a3）+（a7-a5）+…+（a2k-1-a2k-3）
=2+3（2+23+25+…+22k-3）=2+3×=22k-1，
故对任意的k∈N*，a2k-1=22k-1．
由①得22k-1+2a2k=-22k-1+1，所以k∈N*，
因此，
于是，．
故=
=
所以，对任意的n∈N*，++…++=（+）+…+（+）
=
=
=n-
≤n-=n-（n∈N*）