Question

已知f（x）=ax²+2bx+4c（a，b，c∈R）
（1）若a+c=0，f（x）在[-2，2]上的最大值为，最小值为，求证：
（2）当时，对于给定的负数a，有一个最大的正数m（a），使得x∈[0，m（a）]时都有|f（x）|≤5，问a为何值时，m（a）最大，并求这个最大值m（a），证明你的结论．
（3）若f（x）同时满足下列条件：①a＞0；②当|x|≤2时，有|f（x）|≤2；③当|x|≤1时，f（x）最大值为2，求f（x）的解析式．

Answer

（1）利用反证法证明，若a等于0，得到c也等于0，所以f（x）等于2bx，得到f（2）与f（-2）互为相反数，不合题意；若a不为0，由a+c=0，解得c=-a，代入f（x）中，求出二次函数的对称轴，假设对称轴小于-2或大于2，即可得到对称轴在区间的左外侧或右外侧，得到f（x）为单调函数，函数的最值在x=2，-2取到，把2和-2代入得到最值互为相反数，不合题意，所以假设错误，综上，得证；
（2）把b与c的值代入f（x）中，配方得到顶点式，由a小于0，得到函数有最大值，表示出这个最大值，当最大值大于5时，求出此时a的范围，又最大值小于-，M（a）是方程ax2+8x+3=5的较小根，利用求根公式求出M（a）即可判断出M（a）小于；当最大值小于等于5时，求出此时a的范围，最大值大于-，M（a）是方程ax2+8x+3=-5的较大根，根据求根公式求出M（a）即可判断M（a）小于等于，又大于，即可得到M（a）的最大值；
（3）求出f（x）的导函数，由a大于0，求出函数有最大值让其等于2，得到a与b的关系式，由-2≤f（0）=4a=4a+4b+4c-4（a+b）=f（2）-4≤2-4=-2，得c的值，又因为|f（x）|≤2，所以f（x）≥-2=f（0），即可得到x=0时，函数取得最小值，表示出对称轴让其等于0，即可求得b的值，进而求出a的值，把a，b和c的值代入即可确定出f（x）的解析式．
【解析】
（1）若a=0，则c=0，f（x）=2bx，f（2）=4b，f（-2）=-4b，不合题意；
若a≠0时，由a+c=0，得f（x）=ax2+2bx-4a，
对称轴为x=-，假设∈（-∞，-2）∪（2，+∞），
区间[-2，2]在对称轴的左外侧或右外侧，所以f（x）在[-2，2]上是单调函数，
则f（x）的最值必在x=2，x=-2处取到，
f（2）=4b，f（-2）=-4b，f（2）+f（-2）=0≠+（-）=，
所以假设错误，则||≤2，
综上，得到||≤2；
（2）

把b=4，c=代入得：f（x）=ax2+8x+3=a+3-，
∵a＜0，所以f（x）max=3-
①当3-＞5，即-8＜a＜0时，
M（a）满足：-8＜a＜0且0＜M（a）＜-，
所以M（a）是方程ax2+8x+3=5的较小根，
则M（a）==＜=；
②当3-≤5即a≤-8时，此时M（a）≥-，
所以M（a）是ax2+8x+3=-5的较大根，
则M（a）==≤=，
当且经当a=-8时取等号，
由于＞，因此当且经当a=-8时，M（a）取最大值；
（3）求得f′（x）=2ax+2b，
∵a＞0，∴f（x）max=2a+2b=2，即a+b=1，
则-2≤f（0）=4a=4a+4b+4c-4（a+b）=f（2）-4≤2-4=-2，
∴4c=-2，解得c=-，
又∵|f（x）|≤2，所以f（x）≥-2=f（0）
∴f（x）在x=0处取得最小值，且0∈（-2，2），
∴-=0，解得b=0，从而a=1，
∴f（x）=x2-2．